Решение задачи С6
На доске написано более 54 , но менее 66 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 12, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -6.
а) сколько чисел написано на доске?
б) каких чисел написано больше, положительных или отрицательных?
в) какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них? |
Решение
Обозначим количество положительных чисел – n1, количество отрицательных чисел – n2, количество нулей – n3.
По определению, среднее арифметическое n чисел равно
Поэтому если мы умножим среднее арифметическое на количество чисел, то получим сумму этих чисел. Таким образом, используя данные условия, можно записать:
Преобразуем это выражение:
Так как левая часть делится на 6 то для выполнения равенства необходимо, что бы сумма n1 + n2 + n3 так же делилась на 6. По условию эта сумма лежит между числами 54 и 66 или 54 < n1 + n2 + n3 < 66. Между числами 54 и 66 только число 60 делится на 6, следовательно, n1 + n2 + n3 = 60. На доске написано 60 числе.
Снова преобразуем выражение
Так как n3 – количество нулей, то 7n1 > 11n2, следовательно, n1 > n2, то есть положительных чисел написано больше отрицательных.
Подставим значение суммы n1 + n2 + n3 = 60 в равенство 6 (2n1 – n2) = 5 (n1 + n2 + n3). Тогда 6 (2n1 – n2) = 5 * 60; 6 (2n1 – n2) = 300; 2n1 – n2 = 50; n2=2n1 – 50. Так как n1+n2  60, то n1 + 2n1 – 50 60; 3n1 110;
| n1 36 |
 |
Количество чисел не может быть дробным, n 36.
Тогда n2 = 2n1 – 50; n2 2 * 36 – 50; n2 22. Отрицательных чисел не больше 22.
Ответ: а) На доске написано 60 чисел.
б) Положительных чисел написано больше отрицательных.
в) Среди написанных чисел может быть 22 отрицательных. |
|
|
